TFV Kompleks - Integral Garis Kompleks

Integral Garis Kompleks

Sebelum membicarakan integral garis, terlebih dahulu akan dibahas kurva, kurva mulus, lintasan dan orientasi suatu lintasan.

Lintasan
Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu: dengan x= x(t) dan y = y(t), a ≤ t ≤ b, x dan y kontinu pada [a,b]. Kurva C disebut kurva mulus, jika x’dan y’kontinu pada selang tertutup [a,b].

DEFINISI
Fungsi f: [a,b]R disebut kontinu bagian demi bagian, jika terdapat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}dari selang [a,b] sehingga f kontinu pada selang terbuka (xi,xi-1), i=1,2,3,…,n

Berdasarkan definisi tersebut, kurva C disebut kurva mulus bagian demi bagian jika di dalam x = x(t) dan y = y(t), a ≤ t ≤ b berlaku x’ dan y’ kontinu bagian demi bagian pada [a,b]. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan.

Pada kurva C dengan x= x(t) dan y = y(t), a ≤ t ≤ b, titik (x(a),y(a)) disebut titik pangkal kurva C dan (x(b),y(b)) disebut titik ujung kurva C.

Kurva C disebut tertutup sederhana, jika berlaku:

(x(t1),y(t1)) .(x(t2),y(t2)) untuk setiap t1, t2 ∈ (a,b)
((x(a).y(a)) = (x(b),y(b))

Kurva tertutup sederhana dan Kurva tertutup tak sederhana

DEFINISI

Suatu lintasan tertutup sederhana C disebut berorientasi positif jika C ditelusuri dari titik awal ke titik akhir maka interiornya terletak di sebelah kiri C, sebaliknya berorientasi negatif.



Contoh
Kurva dengan bentuk parametrik merupakan kurva mulus.

Jika merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :

maka
titik pada yang berpadanan dengan disebut titik awal .
titik pada yang berpadanan dengan disebut titik akhir .
Selanjutnya, disebut lintasan (path) bila terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,

dengan merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel
Contoh




a. Lintasan tertutup



b. Lintasan terbuka




c. Lintasan sederhana



d. Lintasan berganda
Catatan :
disebut lintasan tertutup jika titik akhir berhimpit dengan titik awal .
disebut lintasan terbuka jika titik akhir tidak berhimpit dengan titik awal .
disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.
disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

Teorema
( Kurva Jordan ) Jika lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh menjadi 3 bagian, yaitu
kurva .
bagian dalam , ditulis , yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.
bagian luar , ditulis , yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva merupakan batas dari himpunan dan .


Integral garis komplek

Misalkan kurva mulus disajikan dengan , , . dan kontinu di . dan kontinu di . Kurva mempunyai arah dari titik awal ke titik akhir dan suatu fungsi yang terdefinisi di .

Kontruksi integral garis .
Buatlah partisi .untuk selang [a,b] dengan titik pembagian selang bagian ke-I dari partisi ∆ adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya dengan = maks ∆ti, 1 ≤ i ≤ n
Kurva Cterbagi atas nbagian yaitu P0P1, P1P2, …, Pi-1Pi, …, Pn-1Pn
Pilih Pi* = (ci,di) .Pi-1Pi , i = 1,2,3,….,n


atau ............(1)
Dinamakan integral garis kompleks atau disingakat integral garis dari f(z) sepanjang kurva C, atau integral tertentu dari f(z) dari a ke b sepanjang kurva C. Dalam kasus ini f(z) dikatakan dapat diintegralkan sepanjang C. Jika f(z) analitik di semua titik pada suatu daerah R dan C suatu kurva yang terletak dalam R, maka f(z) tentunya dapat diintegralkan sepanjang C.
Teorema 4.2 Jika kontinu di , maka dan ada dan



Jika dan kontinu di , maka

.

Contoh
Tentukan integral garis fungsi sepanjang lintasan dengan
: garis dari (0,0) ke (2,0) dan : garis dari (2,0) ke (2,2).
Penyelesaian :
(2,2)

Pada kurva : dan pada kurva : .
(0,0) (2,0)



= 2. □



= 6.


Integral Garis Riil

Jika P (x,y) dan Q (x,y) adalah fungsi riil dari x dan y yang kontinue disemua titik c, maka integral garis riil dari Pdx + Qdy sepanjang kurva C dapat didiefinisikan :


Hubungan Antara Integral Bilangan Riil dengan Bilangan Kompleks

Jika f(z) = u(x,y) + jv (x,y) = u + jv , maka integral garis kompleks pada persamaan (1) menjadi :

= ....(2)

Integral Fungsi Kompleks

Integrasi suatu fungsi kompleks f(z) = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat diferensial integratornya terdiri dari dua variabel x dan y :
dz = dx + idy
sehingga integralnya :
∫ f (z)dz = ∫ (u+iv)(dx + idy)
= ∫ (u dx - v dy) + i (v dx + u dy)
Seharusnya integral tersebut tergantung pada lintasan yang dilewati selama proses integrasinya, karena lintasan itu akan menentukan hubungan antara variabel x dan y. Tetapi hal ini akan menimbulkan kontradiksi dengan integral di ruas kiri yang sudah tentu bersifat unik.
Oleh sebab itu integral fungsi kompleks harus tidak tergantung lintasan, hal ini dapat terjadi karena di antara u dan v terdapat hubungan sebagai harmonik konjugat satu sama lain menurut persamaan Cauchy-Riemann.
Integrasi dalam variabel z dilakukan dengan cara yang sama seperti integral real, di sini integral berarti anti-derivatif :

Sifat-sifat integral kompleks hampir sama dengan sifat-sifat integral real. Hanya ada satu sifat tambahan yang penting, yaitu : bila f(z) fungsi terbatas (bounded) sehingga |f(z)| ≤ M, dengan M bilangan positif berhingga, maka :

dimana L adalah panjang kurva integrasi C.

Sifat – Sifat Integral
Jika f(z) dan g(z) dapat diintegralkan sepanjang C, maka ;
1.
2. dimana A konstanta
3.
4. dimana a, b, m pada C
5.
Dimana , yaitu ML adalah suatu batas dari pada C, dan L adalah panjang nya C. Jika T, U, dan V adalah tiga titik yang berurutan pada kurva, maka :

Jika C, C¬1, dan C2 berturut – berturut menyatkan kurva dari a ke b, a ke m, dan m ke b, maka C = C1 + C2 sehingga :



Integral Cauchy

Jika integran f(z) tidak analitik di dalam C, tetapi memiliki kutub di titik z = a, artinya f(a) meledak tak hingga besar di situ, maka fungsi ini dapat ditulis dalam bentuk :

dengan fungsi pembilang g(z) analitik dalam C. Jika n = 1, kutub a disebut kutub sederhana,
untuk harga n lainnya disebut kutub orde n.
Integralnya :
............(1)


Hal ini dapat dibuktikan dengan menuliskan bilangan kompleks pada penyebut dalam bentuk polar eksponen :
z – a = r e^rθ
kemudian integrasi dilakukan sepanjang lingkaran kecil K beruji infinitesimal r 0 yang berpusat di z = a sesuai dengan teorema anulus :

mengingat za untuk r0, dan g(z) analitik di sekitar z = a.
Integral Cauchy ini dapat diperluas pengertian dan ruang lingkupnya dengan menurunkan
ruas kiri dan kanannya terhadap a secara berturut-turut :
..............(2)
dimana g^((n)) (a) adalah turunan g(z) orde n di z = a. Titik z = a merupakan kutub berorde satu di persamaan (1) dan berorde n di persamaan (2).
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lingkaran C beruji r dan berpusat di z = a, maka berdasarkan sifat integral kompleks, persamaan (2) menghasilkan :

yang dikenal dengan sebutan ketaksamaan Cauchy.

Pada integral Cauchy (1) titik kutub z = a berada di dalam kontur C. Jika z = a berada di luar kontur permasalahannya berubah menjadi persamaan, karena sekarang integran merupakan fungsi analitik di dalam C. Bagaimana jika z = a kebetulan tepat dilalui oleh kontur C ? Dalam kasus ini teorema anulus akan menghasilkan nilai yang besarnya hanya separo dari persamaan (1). Apabila z = a berada di titik patah kontur C, misalnya pada sudut a suatu bentuk bidang, maka nilai yang dihasilkan menjadi a/2p kali hasil persamaan (1). Seluruh penjelasan pada paragraf ini hanya berlaku untuk kutub sederhana (berorde satu), yakni yang berada di persamaan (1), dan tidak berlaku untuk kutub berorde banyak seperti pada persamaan (2).
Sebagai rangkuman integrasi fungsi kompleks dengan kontur tertutup dapat dilihat diagram alir berikut ini :



Teorema
( Teorema Cauchy) Jika analitik dan kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana , maka .

analitik dan kontinu

Teorema
(Bentuk lain Teorema Cauchy Goursat ) Jika fungsi analitik di seluruh domain terhubung sederhana , maka untuk setiap lintasan tertutup di dalam , berlaku .

Teorema
(Teorema Cauchy Goursat yang diperluas) Diberikan suatu lintasan tertutup , sedangkan adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak di interior sedemikian sehingga tidak saling berpotongan. Jika fungsi analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada dan titik-titik di dalam , kecuali titik-titik interior , maka
. □


tidak analitik
analitik


Pembuktian Teorema Integral Cauchy Dengan Menggunakan Teorema Green.

Teorema : Misalkan f(z) analitik pada daerah terhubung R. C adalah path tertutup dalam daerah terhubung, maka:

Bukti : Karena f(z) = u + iv diketahui analitik dan mempunyai turunan kontinu

Sehingga

Kontinu di dalam dan pada path C.
Jadi teorema Green dapat digunakan, sehingga diperoleh :

Dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 diperoleh :

Rumus Integral Cauchy

Teorema
(Rumus Integral Cauchy ) Jika analitik di dalam dan pada lintasan tertutup dan sebarang titik di dalam , maka

atau
. □


analitik



Turunan Fungsi Analitik





Contoh
Hitung dengan .
Penyelesaian :
Diambil : ( analitik di dalam dan pada )
di dalam .

Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh



Integral dari suatu fungsi yang menyeluruh sepanjang sebarang lintasan yang menghubungkan dua titik pada bidang datar dapat dihitung secara langsung, asalkan anti turunan fungsi tersebut dapat ditemukan. Demikian pula integral dari fungsi analitik, asalkan titik awal dan titik akhir lintasan integrasinya seluruhnya terletak di dalam daerah terhubung sedehana di mana fungsi itu analitik.

Teorema Anulus

Defenisi



Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk daerah terhubung rangkap, terdiri dari dua kurva tertutup, C dan K. Bila arah kontur dibalik, hasil integral akan menjadi negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi. Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur fungsi kompleks.

Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4 integral dengan kontur masing-masing C¢, G1, G2, dan -K¢ (+K¢ didefinisikan searah dengan C¢). Kontur C¢ adalah kontur C setelah terbelah oleh celah lintasan G1 dan G2 yang masuk dan keluar di antara C dan K. Demikian pula kontur K¢ adalah kontur K sesudah diberi celah tersebut di atas. Celah harus dibuat sedemikian kecil agar CC dan KK.


Jika diamati jelaslah bahwa G1 = - G2 sehingga kedua integralnya saling menghapus.
Untuk f(z) yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku teorema Cauchy-Goursat :

yang akhirnya menghasilkan teorema anulus, yaitu dengan mengingat bahwa CC dan KK :


Perluasan Teorema Annulus


soal




3.Hitung jika dengan setengan lingkaran dari ke .